Bài giảng Xác suất thông kê - Các công thức tính xác suất - Nguyễn Ngọc Phụng

Các công thức tính xác suất
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Nguyễn Ngọc Phụng
-
Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM
ĐT: 0989 969 057
E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com
phungvl@yahoo.com
10-10-2010
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
1 Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức cộng
Định nghĩa (Với 2 biến cố bất kỳ)
P(A+ B) = µ(A∪B)µ(Ω) =
µ(A)+µ(B)−µ(AB)
µ(Ω) = P(A) + P(B)− P(AB)
Định nghĩa (Với 2 biến cố xung khắc)
A, B xung khắc ⇔ A, B không thể đồng thời xảy ra ⇔ A.B = ∅
Khi đó:
P(A+ B) = P(A) + P(B)− P(∅)⇔ P(A+ B) = P(A) + P(B)
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức cộng
Định nghĩa (Với n biến cố xung khắc từng đôi)
A1,A2, . . . ,An xung khắc từng đôi⇔ Ai.Aj = ∅ (i 6= j)
Khi đó:
P(A1 + A2 + · · ·+ An) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An)
Định nghĩa (Công thức bù)
A là bc bù của A. Ta có:{
A+ A = Ω
A.A = ∅
Khi đó:P(A+ A) = P(A) + P(A) ⇔ P(Ω) = P(A) + P(A)
Vậy: P(A) + P(A) = 1
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức cộng
Ví dụ:
Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác
suất:
a. Lấy được 2 bi đỏ.
b. Lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức xác suất có điều kiện
Định nghĩa
P(B/A) là xác suất để bc B xảy ra, biết rằng bc A đã xảy ra.
Ta có:
P(B/A) = µ(A ∩ B)
µ(A) =
P(AB)
P(A)
Tương tự: P(A/B) = P(AB)P(B)
Ví dụ:
Một hộp có 10 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng. Hai người rút
ngẫu nhiên lần lượt mỗi người một phiếu không hoàn lại từ hộp. Tính
xác suất để người thứ hai rút được phiếu trúng thưởng, biết rằng người
thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức nhân
Định nghĩa (Với 2 biến cố bất kỳ)
P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
Định nghĩa (Với 2 biến cố độc lập)
Hai bc độc lập ⇔ Một trong hai bc xảy ra không làm ảnh hưởng đến
khả năng xảy ra của bc còn lại.
A,B độc lập nhau ⇔ P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A)
Khi đó:
P(AB) = P(A).P(B)
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức nhân
Định nghĩa (Với n biến cố độc lập)
Cho A1,A2, . . . ,An độc lập với nhau. Khi đó:
P(A1.A2 . . .An) = P(A1).P(A2) . . .P(An)
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức nhân
Ví dụ:
Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Trong một ngày làm việc
xác suất để các máy này bị hỏng tương ứng là 0,1 và 0,05. Tính xác suất
trong một ngày làm việc:
a. Phân xưởng có 2 máy hỏng.
b. Phân xưởng có ít nhất 1 máy hỏng.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức Bernoulli
Định nghĩa
Xét n phép thử độc lập, ở mỗi phép thử bc A xảy ra với xác suất bằng p
là hằng số.
Khi đó, xác suất để bc A xảy ra k lần trong số n lần thử được kí hiệu là
B(k;n; p) (0 ≤ k ≤ n)
B(k;n; p) = Cknpkqn−k, q = 1− p
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức nhân
Ví dụ:
Trong trò chơi Tài Xỉu, xác suất để người chơi trúng ở mỗi lần chơi là 3572 .
Tính xác suất:
a. Trong 8 lần chơi có 4 lần trúng.
b. Trong n lần chơi có ít nhất 1 lần trúng.
c. Cần chơi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 lần trúng
không dưới 99%.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức xác suất đầy đủ
Định nghĩa
A1,A2, . . . ,An được gọi là một phép phân hoạch của Ω
⇔
{
A1 + A2 + . . .+ An = Ω
Ai.Aj = ∅ (i 6= j)
Khi đó, với B là một bc bất kỳ, ta có:
P(B) = P(B.Ω) = P(B.(A1 + A2 + . . .+ An))
= P(BA1 + BA2 + . . .+ BAn) = P(BA1) + P(BA2) + . . .+ P(BAn)
Vậy:
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + . . .+ P(An)P(B/An)
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức xác suất đầy đủ
Ví dụ:
1 Có 2 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó hộp thứ i có
2i phế phẩm (i=1;2). Chọn ngẫu nhiên 1 hộp từ đó lấy ra 2 sản
phẩm. Tính xác suất:
a. Lấy được 2 chính phẩm.
b. Lấy được ít nhất 1 chính phẩm.
2 Một hộp có 10 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng. Hai người
rút ngẫu nhiên lần lượt mỗi người một phiếu không hoàn lại từ hộp.
Tính xác suất để người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng, biết
rằng người thứ hai rút được phiếu trúng thưởng.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức Bayes
Định nghĩa
Xét một phép phân hoạch n bc A1,A2, . . . ,An của Ω. Giả sử bc B đã xảy
ra, khi đó xác suất để bc Ai xảy ra là:
P(Ai/B) =
P(AiB)
P(B) =
P(Ai).P(B/Ai)
P(B)
với P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + . . .+ P(An)P(B/An)
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các công thức tính xác suất
Công thức cộng
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức Bernoulli
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức Bayes
Công thức xác suất đầy đủ-Công thức Bayes
Ví dụ:
1 Một nhà máy có 3 dây chuyền sản xuất, cung ứng lần lượt 40%, 35%
và 25% tổng sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của các dây chuyền tương
ứng là 1%, 1,25% và 1,5%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà
máy.
a. Tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm.
b. Biết rằng đó là một phế phẩm, hỏi khả năng phế phẩm này được
sản xuất từ dây chuyền nào là cao nhất?
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ