Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán - Nguyễn Tiến Trung (Phần 1)

ình tên biểu diễn quan hệ R được cho trong Hình 1 dưới đây. 
Ta thấy 5 phần tử c, l, t, m, h của tập hợp X có quan hệ R với những phần 
tử trong tập hợp Y, còn hai phần tử n, v không có quan hệ R với bất cứ một 
phần tử nào của Y. Như vậy, ta có D (R) ≠ X, 
D(R) là tập xác định của quan hệ R: D (R) = (c, l, t, m, h}. 
“là học sinh của lớp” 
Formatted: Heading03
Hình 1 
Trên lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ R ta thấy từ mỗi điểm c, l, t, m, h 
có một mũi tên đi ra và không có mũi tên nào đi từ hai điểm n và v. 
Ví dụ 6.2 : 
Giả sử X là tập hợp gồm 5 ông: Hùng, Cung, San, Việt, Tuấn ở trong một 
nhà của khu tập thể: 
 X = {h, s, c, v, t}, 
Y là tập hợp gồm 6 em: Dũng, Anh, Loan, Đào, Mạnh, Kiệt, ở nhà đó: 
 Y = {d, a, l, đ, m, k}, 
và ϕ là quan hệ hai ngôi “là bố của” trên X x Y xác định bởi: 
 ϕ = {(h, d), (s, a), (s, l), (c, đ), (v, m), (t, k)}. 
((h, d) ∈ φ hay h ϕ d có nghĩa “Ông Hùng là bố của em Dũng”). 
Khác với Ví dụ 1, ở đây mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ ϕ với 
một phần tử nào đó của Y, tức là D (ϕ) = X. Trên lược đồ hình tên biểu 
diễn quan hệ ϕ (Hình 2), ta thấy từ mỗi điểm của tập hợp X đều có mũi tên 
đi ra. Ngoài ra, phần tử s của X có quan hệ ϕ với hai phần tử a và l của Y. 
Trên lược đồ hình tên, ta thấy có hai mũi tên từ điểm s đi ra. 
Hình 2 
Ví dụ 6.3 : 
Giả sử X là tập hợp gồm 7 học sinh: Dũng, Mai, Hạnh, Tuấn, Cường, 
Quỳnh, Việt: 
 X = {d, m, h, t, c, q, v}, 
Y là tập hợp gồm một số họ: Nguyễn, Lê, Trần, Đặng, Huỳnh, Vũ: 
 Y = {N, L, T, Đ, H, V}, 
và ρ là quan hệ “có họ là” trên X x Y xác định bởi 
 ρ = {(d, N), (m, N), (h, L), (t, T), (c, T), (q, Đ), (v, H)}. 
((d, N) ∈ ρ hay d ρ N có nghĩa “Dũng có họ là Nguyễn”). 
Trong ví dụ này, mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ với một phần 
tử nào đó của tập hợp Y, tức là D (ρ) = X. Ngoài ra, mỗi phần tử của X chỉ 
có quan hệ ρ với một phần tử duy nhất của Y. 
Hình 3 
Trên lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ ρ, ta thấy từ mỗi điểm của tập hợp 
X đều có một mũi tên đi ra. Hơn nữa, không có điểm nào của X mà từ đó 
có quá một mũi tên đi ra. 
Tóm lại, quan hệ hai ngôi ρ trên X x Y thoả mãn điều kiện sau: 
Với mỗi phần tử x của tập hợp X, tồn tại một phần tử duy nhất y của tập 
hợp Y sao cho x ρ y. 
Quan hệ ρ được gọi là một ánh xạ. Một cách tổng quát, ta có: 
Định nghĩa: Giả sử X và Y là hai tập hợp. Quan hệ hai ngôi f trên X x Y 
gọi là một ánh xạ từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại một phần 
tử duy nhất y ∈ Y sao cho x f y. 
ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y được kí hiệu là: 
 f : X → Y. 
Nếu x là một phần tử của tập hợp X thì phần tử y của tập hợp Y sao cho x f 
y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x). 
Hiển nhiên ánh xạ f được xác định nếu ảnh f (x) của mỗi phần tử x X đều 
được xác định. Vì vậy người ta còn dùng kí hiệu x → f (x), x ∈ X hoặc x y, 
x ∈ X để chỉ anh xạ f. 
Trong trường hợp X là một tập hợp hữu hạn, người ta thường cho ánh xạ 
dưới dạng một bảng gồm hai hàng. Các phần tử của tập hợp X được ghi ở 
hàng trên. ảnh tương ứng chúng (những phần tử của tập hợp Y) được ghi ở 
hàng dưới. Chẳng hạn, ánh xạ ρ : X → Y trong Ví dụ 3 được cho ở bảng 
sau: 
Trước kia ta nói “d có quan hệ ρ với N” và viết d ρ N. Bây giờ ta nói “N là 
ảnh của d qua ánh xạ ρ” và viết: N = ρ (d). 
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y. 
Khi đó, X được gọi là tập xác định của ánh xạ f. Tập hợp các ảnh f (x) của 
tất cả các phần tử x của tập hợp X được gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu là f 
(X). 
Như vậy, với mọi y ∈ Y, 
y ∈ f (X) khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho y = f (x), tức là: 
f(X) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x)}. 
Hiển nhiên f (X) là một tập con của Y. Tập hợp Y chứa ảnh của ánh xạ f 
được gọi là tập đến (hoặc tập đích) của f. 
Trở lại các ví dụ đã xét, ta thấy quan hệ ℜ trong Ví dụ 1 là quan hệ ρ trong 
Ví dụ 2 không phải là những ánh xạ. Hiển nhiên quan hệ ρ trong Ví dụ 3 là 
một ánh xạ như đã nêu. Tập xác định của ánh xạ ρ là X. 
 ρ (d) = N, ρ (m) = N, ρ (h) = L, ..., ρ (v) = H. 
ảnh của ánh xạ là: 
 ρ (X) = {N, L, T, Đ, H} ⊂ Y. 
Không có phần tử nào của tập hợp X có quan hệ ℜ với phần tử V ∈ Y, tức 
là V không phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X. Như vậy ρ(X) là 
một tập con thực sự của Y, tức là 
ρ(X) ⊂ Y và ρ(X) ≠ Y. 
Ví dụ 6.4 : 
Cho tập hợp X = {a, b, c} và ánh xạ f: X → N xác định bởi bảng sau: 
a) Biểu diễn ánh xạ f bằng lược đồ hình tên. 
b) Tìm ảnh của f. 
a) Lược đồ hình tên của ánh xạ f được cho trong Hình 4 dưới đây: 
Hình 4 
b) ảnh của ánh xạ f là : 
 f (X) = {1, 3, 5}. 
f (X) là một tập con thực sự của N. 
ánh xạ mà tập xác định và tập đến đều là những tập hợp số (như N, Z, Q, 
⏐R, C hoặc các tập con của chúng) thường được cho bởi một công thức. 
Chẳng hạn, khi cho hàm số : 
 f : ⏐R* → ⏐R 
xác định bởi công thức : x → f(x) = , 
ta hiểu rằng mỗi số thực x ≠ 0 nhận một phần tử duy nhất y = ∈⏐R làm ảnh 
của nó qua ánh xạ f. 
(Kí hiệu ⏐R* chỉ tập hợp các số thực khác không :⏐R* = ⏐R\{0}). 
Ví dụ 6.5 : 
ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác định bởi công thức x f(x) = sin x là một ánh xạ từ 
tập hợp các số thực ⏐R vào ⏐R. 
Tập xác định của hàm số f là ⏐R. Tập đến của f cũng là ⏐R. ảnh của ánh xạ 
là tập hợp: f (⏐R) = {y ∈⏐R : −1 ≤ y ≤ 1}, 
vì với mọi số thực y, y f (⏐R) khi và chỉ khi y = f (x) = sin x 
Điểu này xảy ra khi và chỉ khi −1 ≤ y ≤ 1 
Ví dụ 6.6 : 
ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi công thức x → f(x) = x2 + 1 là một ánh xạ 
từ tập hợp các số thực ⏐R vào ⏐R. 
Tập xác định của ánh xạ này là ⏐R. Tập đến của f cũng là ⏐R. ảnh của ánh 
xạ: f (⏐R) = {y ∈ ⏐R : y ≥ 1}, 
vì với mọi số thực y, y ∈ f (⏐R) khi và chỉ khi y = f (x) = x2 + 1. 
Điều này xảy ra khi và chỉ khi y ≥ 1. 
Ví dụ 6.7 : 
Giả sử X là một tập hợp cho trước tuỳ ý. ánh xạ I: X → X xác định bởi x → 
I (x) = x là một ánh xạ từ X vào X. 
Tập xác định của ánh xạ I là X. Tập đến của I cũng là X. Hiển nhiên ảnh 
của ánh xạ I là I (X) = X. 
I được gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X. Khi có nhiều tập hợp X, Y, 
... được đồng thời đề cập đến, để phân biệt, người ta dùng các kí hiệu IX, 
IY, ... để chỉ các ánh xạ đồng nhất trên các tập hợp X, Y, ... 
Ví dụ 6.8 : 
Phép cộng trên tập hợp các số thực ⏐R là một ánh xạ từ tập hợp ⏐R2 = ⏐R x 
⏐R vào tập hợp ⏐R: 
ánh xạ f: ⏐R x ⏐R → ⏐R xác định bởi: (x, y) → f (x, y) = x + y là một ánh 
xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R. 
(ảnh của phần tử (x, y) ∈ ⏐R x ⏐R qua ánh xạ f được kí hiệu là f (x, y) thay 
cho f ((x, y))). 
Tập xác định của ánh xạ f là ⏐R x⏐R. Tập đến của f là ⏐R. Dễ dàng thấy 
rằng ảnh của f là f (⏐R x ⏐R) = ⏐R. 
Tương tự, phép trừ và phép nhân trên tập hợp ⏐R cũng là những ánh xạ từ 
tập hợp ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R. 
Ví dụ 6.9 : 
Ký hiệu ⏐R* chỉ tập hợp các số thực khác 0: ⏐R* = ⏐R \ {0}. Phép chia 
trên ⏐R la f một ánh xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R* vào tập hợp ⏐R: 
ánh xạ f : ⏐R x ⏐R* → ⏐R xác định bởi (x, y) → f (x, y) = 
là một ánh xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R* vào tập hợp ⏐R. 
Tập xác định của f là ⏐R x ⏐R*. Tập đến của f là ⏐R. Dễ dàng thấy rằng 
ảnh của f là tập hợp f (⏐R x ⏐R*) = ⏐R. 
6.2. ánh xạ bằng nhau 
Giả sử X và Y là hai tập hợp, f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ta nói rằng 
hai ánh xạ f và g là bằng nhau, và viết f = g, nếu f (x) = g (x) với mọi x X. 
Chẳng hạn, ánh xạ f : ⏐R → ⏐R 
 x → f (x) = x3 − 1 
và ánh xạ g: ⏐R → ⏐R 
 x → g (x) = (x − 1) (x2 + x + 1) 
là hai ánh xạ bằng nhau. 
6.3. Thu hẹp và thác triển ánh xạ 
a) Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y và A là một 
tập con của X. 
ánh xạ g : A → Y xác định bởi g (x) = f (x) với mọi x ∈ A, 
Gọi là ánh xạ thu hẹp (gọi tắt là thu hẹp) của ánh xạ f trên tập hợp A và 
được kí hiệu là f/A. 
Như vậy, f/A : A → Y là ánh xạ xác định bởi: 
 x f/A (x) = f(x). 
Ví dụ 6.10 : 
Giả sử f: ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi: 
Formatted: Heading03
Formatted: Heading03
A và B là hai tập con của ⏐R với : 
 A = {x ∈⏐R : x ≥ 0} và B = {x ∈⏐R : x < 0}. 
Khi đó, ánh xạ thu hẹp của f trên A là: 
 f/A: A →⏐R 
 x → f/A (x) = , 
và ánh xạ thu hẹp của f trên B là: f/B: B → ⏐R 
 x → f/B(x) = . 
b) Giả sử X, Y là hai tập hợp, A là một tập con của X, f: A → Y và F: X → 
Y là những ánh xạ. Nếu F/A = f, tức là F (x) = f (x) với mọi x ∈ A thì ánh 
xạ F được gọi là ánh xạ thác triển (gọi tắt là thác triển) của ánh xạ f lên tập 
hợp X. 
Ví dụ 6.11 : 
Giả sử f : Q → {0, 1} là ánh xạ từ tập hợp các số hữu tỉ Q vào tập hợp {0, 
1} xác định bởi: 
 f (x) = 1, với mọi x ∈ Q, 
và D : ⏐R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi: 
Khi đó, ánh xạ D là thác triển của ánh xạ f (từ tập con Q của ⏐R) lên tập 
hợp ⏐R. ánh xạ D được gọi là hàm số Điritslê (Diritchlet). 
(Điritslê Pitơ Guxtao Lơgiơn (Diritchlet Peter Gustav Lejeune, 1805 − 
1859) là nhà toán học Đức). 
6.4. Hợp của các ánh xạ 
a) Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. ánh xạ 
h : X → Z xác định bởi 
 x → h(x) = g [f(x)] 
gọi là ánh xạ hợp của hai ánh xạ f và g, kí hiệu là gof. 
Formatted: Heading03
Như vậy, gof: X → Z là ánh xạ xác định bởi: 
(gof) (x) = g[f(x)], x ∈ X. 
(Trong kí hiệu ánh xạ hợp “gof” của ánh xạ f và g, hãy chú ý đến thứ tự của 
hai ánh xạ: g được viết trước f). 
Lược đồ sau giúp ta nhớ định nghĩa ánh xạ hợp dễ hơn. 
Hình 5 
Ví dụ 6.12 : 
(i) cho hai ánh xạ. 
 f: ⏐R → ⏐R 
 x → f (x) = 2 x − 
và 
 g : ⏐R → ⏐R 
 x → f (x) = sin x. 
Khi đó, ánh xạ hợp của f và g là: 
 gof : ⏐R → ⏐R 
 x → (gof) (x) = sin (2x − ). 
(ii) cho hai ánh xạ 
 f : ⏐R+ ⏐R 
 x → f (x) = 
(Ký hiệu ⏐R+ chỉ tập hợp các số thực không âm), và 
 g: R → ⏐R 
 x → g (x) = cos x. 
Khi đó, ảnh xạ hợp của f và g là: 
 gof: ⏐R → ⏐R 
 x → (fog) (x) = 2 sin x − . 
Như vậy fog gof. 
Người ta nói rằng phép hợp các ánh xạ không có tính giao hoán. 
Ví dụ 6.12 : 
Cho hai ánh xạ 
 f : ⏐R → ⏐R 
 x → f (x) = ⏐x⏐ 
và 
 g : ⏐R+ → P (⏐R) 
 x → g(x) = [−x, x] = {ξ → ⏐R : −x ≤ ξ ≤ x} 
(P (⏐R) là tập hợp các tập con của ⏐R). 
ánh xạ hợp của f và g là: 
 gof : ⏐R → P (⏐R) 
 x → (gof) (x) = [−⏐x⏐, ⏐x⏐] 
Ví dụ 6.13 : 
Dễ dàng thấy rằng với mọi ánh xạ f : X → Y, 
 fo IX = f và IY of = f, 
trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng nhất trên X và Y. 
Khi đó, ta nói rằng các lược đồ sau là giao hoán. 
Hình 6 
Định lí sau đây cho thấy phép hợp các ánh xạ có tính kết hợp. 
c) Định lí 
Với mọi ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z và h : Z → V, 
ho (gof) = (hog) of. 
Chứng minh 
Dễ thấy ho (gof) và (hog) of đều là những ánh xạ từ X đến V 
Hình 7 
Ta chứng minh: 
(1) [ho (gof)] (x) = [(hog) of] (x) với mọi x ∈ X. 
Thật vậy, với mọi x ∈ X, ta có 
(2) [ho (gof)] (x) = h ((gof) (x)) = h (g (f(x))) 
và 
(3) [(hog) of] (x) = (hog) (f(x)) = h (g (f(x))). 
Từ hai đẳng thức (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) cần chứng minh. 
6.5. Hàm số − Dãy và dãy số. 
Giả sử fi X → Y là một ánh xạ. Nếu tập đến Y của f là tập hợp số thực thì f 
: X → ⏐R được gọi là một hàm số thực. 
Nếu Y = C thì ánh xạ f : X → C được gọi là một hàm số phức. 
Nếu tập xác định X của f là tập hợp các số nguyên dương N* (hoặc tập hợp 
các số tự nhiên N) thì ánh xạ f : N* → Y 
(hoặc f : N → Y) được gọi là một dãy vô hạn (gọi tắt là dãy) phần tử của Y. 
Giả sử f : N* → Y là một dãy phần tử của Y. Với mỗi số nguyên dương n, 
đặt yn = f (n); yn là ảnh của n qua ánh xạ f. Người ta thường dùng kí hiệu 
(y1, y2, ..., yn, ...) hoặc (yn) để chỉ dãy f (vì một ánh xạ được xác định bởi 
ảnh của các phần tử của nó). 
Đặc biệt, nếu X = N* (hoặc N) và Y = ⏐R thì ánh xạ f: N* → ⏐R được gọi 
là một dãy số thực. ánh xạ f : N* → C (hoặc f : N → C) được gọi là một 
dãy số phức. 
Nếu X = {1, 2, ..., m} thì ánh xạ f : X → Y được gọi là một dãy (hữu hạn) 
m phần tử của Y. Đặt yk = f (k), k = 1, ..., m. Dãy m phần tử của Y thường 
được kí hiệu là (y1, y2, ..., ym). 
Formatted: Heading03
Khi xét các hàm số thực f : X → ⏐R hoặc hàm số phức f : X → C, người ta 
gọi ảnh f (x) của phần tử x qua ánh xạ f là giá trị của hàm số f tại điểm x và 
gọi ảnh f (X) của f là tập các giá trị của hàm số f. 
Chẳng hạn, với hàm số f : ⏐R ⏐R, x f (x) = sin x, giá trị của hàm số tại 
điểm x = là f () = sin = và tập các giá trị của hàm số là f (⏐R) = {y ∈ ⏐R: 
−1 ≤ y ≤ 1}. 
Trong một số trường hợp người ta cho hàm số thực f xác định trên một tập 
con X nào đó của ⏐R bởi một công thức mà không cho trước tập hợp X. 
Khi đó, ta hiểu tập xác định X của hàm số f là tập hợp tất cả các số thực x 
sao cho f (x) có nghĩa. Chẳng hạn, tập xác định của hàm số thực f(x) = là 
tập hợp: 
X = {x ∈ ⏐R : x ≤ 1}. 
B. Hoạt động 6.1. Tìm hiểu các khái niệm cơ bản về ánh xạ 
Nhiệm vụ: 
Sinh viên thảo luận theo nhóm 3 − 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau 
rồi cử đại diện nhóm trình bày 
Nhiệm vụ 1 
− Cho ba ví dụ về quan hệ hai ngôi không phải là ánh xạ và biểu diễn quan 
hệ đó bằng lược đồ hình tên. 
− Cho ba ví dụ về ánh xạ mà tập xác định và tập đến đều không phải là 
những hàm số, biểu diễn ánh xạ đó bằng lược đồ hình tên và tìm ảnh của 
chúng. 
− Cho bốn ví dụ về ánh xạ mà tập xác định là N, N*, Z, Q, ⏐R hoặc tập con 
của chúng và chỉ ra tập xác định và ảnh của các ánh xạ đó. 
− Cho ví dụ về ánh xạ có tập xác định là tập hợp số thực {x ∈ ⏐R : x ≥ 0} 
và ảnh là tập hợp { x ∈ ⏐R : 0 ≤ x < 1}. 
Nhiệm vụ 2 
− Cho ba ví dụ về hai ánh xạ bằng nhau. 
− Hai ánh xạ. 
 f : ⏐R+ →⏐R 
 x → f (x) = 
và 
 g : ⏐R+ →⏐R 
 x → g(x) = x − 1 
Formatted: Heading02
Formatted: Heading03
Formatted: Heading04
Formatted: Heading04
Deleted: 
Có phải là hai ánh xạ bằng nhau hay không? 
Nhiệm vụ 3 
− Cho hai ví dụ về ánh xạ thu hẹp và ánh xạ thác triển của một ánh xạ cho 
trước. 
− Cho hai ví dụ về một cặp ánh xạ f, g : X → Y khác nhau nhưng f/A = g/A, 
A là một tập con của X. 
− Cho ba tập hợp A, B, X, trong đó A ⊂ B ⊂ X. Tìm quan hệ giữa các ánh 
xạ. 
f/A, (f/B)/A và f/A ⊂ B. 
Nhiệm vụ 4 
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho ánh xạ hợp gof tồn tại nhưng 
không tồn tại ánh xạ hợp fog. 
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại nhưng 
gof ≠ fog. 
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại, hơn nữa 
gof = fog. 
Đánh giá hoạt động 6.1 
1. Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, 
Y = {0, 1, 2, 5, 7, 9} và quan hệ hai ngôi R trên X x Y xác định bởi: 
R = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (e, 9)}. 
a) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên. 
b) R có phải là một ánh xạ không? 
2. Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f} và quan hệ hai 
ngôi R trên A x B xác định bởi: 
ℜ = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, d), (5, e), (3, c)}. 
a) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên. 
b) R có phải là một ánh xạ không? 
3. Cho hai tập hợp X = {3, 5, 7, 12}, Y = {1, 6, 13, 17, 35, 36} và quan hệ 
hai ngôi “chia hết” ϕ trên X x Y. 
(Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x ϕ y khi và chỉ khi x chia hết y)/ 
a) Tìm quan hệ ϕ. 
b) Biểu diễn quan hệ ϕ bằng lược đồ hình tên. 
c) ϕ có phải là một ánh xạ không? 
Formatted: Heading04
Formatted: Heading04
Formatted: Heading02
Deleted: 
4. Cho hai tập hợp A = {2, 3, 5, 7, 9} , B = {11, 13, 18, 35, 101} và quan hệ 
hai ngôi “chia hết” f trên A x B. 
a) Tìm quan hệ f và biểu diễn f bằng lược đồ hình tên. 
b) f có phải là một ánh xạ không? Tìm tập xác định và ảnh của f (nếu f là 
ánh xạ). 
5. Lớp 12A của một trường trung học phổ thông có 40 học sinh. Một số em 
ở độ tuổi 18, số còn lại ở độ tuổi 17. Gọi X là tập hợp các học sinh lớp 12A, 
Y = {17, 18} và R là quan hệ hai ngôi trên X x Y xác định như sau: 
Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x R y khi và chỉ khi y là tuổi của học sinh x. 
a) R có phải là một ánh xạ không? 
b) Tìm tập xác định và ảnh của R (nếu R là một ánh xạ). 
6. Tập hợp X có n phần tử, tập hợp Y có một phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh 
xạ từ X vào Y? 
7. Tập hợp X có một phần tử, tập hợp Y có m phần tử. Hỏi có bao nhiêu 
ánh xạ từ X vào Y? 
8. Hai tập hợp X và Y đều có hai phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào 
Y. 
9. Chứng minh rằng nếu tập hợp X có n phần tử và tập hợp Y có m phần tử 
thì có mn ánh xạ từ X vào Y. 
Hướng dẫn: 
Giả sử m là một số nguyên dương tuỳ ý và Y = {y1, y2, ..., ym}. Ta chứng 
minh điều khẳng định bằng phương pháp quy nạp theo n. Giả sử n = 1 và X 
= {x1}. Khi đó có m1 = m ánh xạ từ X vào Y; các ánh xạ đó được xác định 
như sau: f1 (x1) = y1, f2 (x1) = y2, ... , fm (x1) = ym. Giả sử điều khẳng định 
đúng cho n, tức là có mn ánh xạ từ tập hợp X = {x1, x2, ..., xn} (có n phần 
tử) vào tập hợp Y. Ta chứng minh có mn + 1 ánh xạ từ tập hợp X = {x1, x2, ..., 
xn, xn + 1} vào tập hợp Y. Chia tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y thành m 
tập con đôi một rời nhau như sau: Tập con thứ nhất gồm tất cả các ánh xạ f 
: X → Y sao cho f (xn + 1) = y1, tập con thứ hai gồm tất cả các ánh xạ f : X → 
Y sao cho f (xn + 1) = y2,..., tập con thứ m gồm tất cả các ánh xạ f1 X → Y sao 
cho f (xn + 1) = ym. Hãy chỉ ra rằng mỗi tập con đó có mn phần tử. 
10. Ký hiệu P = P (⏐R) chỉ tập hợp tất cả các tập con của tập hợp các số 
thực ⏐R. Cho ánh xạ f : ⏐R → P xác định bởi công thức: 
 f(x) = {y ∈⏐R : y ≤ ⏐x⏐ 
Tìm f(-2), f(0) và f (x2). 
11. Cho tập hợp X = {x ∈ ⏐R : 0 ≤ x ≤ 2} và ánh xạ f : X → ⏐R xác định 
bởi: 
Tìm ảnh f (X) của ánh xạ f. 
12. Hai ánh xạ f; g : ⏐R → ⏐R xác định bởi: 
f (x) =
và 
 g (x) =
có phải là những ánh xạ bằng nhau hay không? 
13. Cùng câu hỏi của bài tập 12 đối với hai ánh xạ u, v : ⏐R → ⏐R xác định 
bởi: 
và v (x) = . 
14. Tìm các ánh xạ hợp gof và fog (nếu có) của mỗi cặp hàm số sau đây. 
Nếu không tồn tại gof hoặc fog thì giải thích lí do: 
a) f : ⏐R+ →⏐R và g : ⏐R →⏐R 
 x → f(x) = lnx x → g(x) = ex 
( là tập hợp các số thực dương: = {x ∈ ⏐R : x > 0}; 
b) f : ⏐R* → ⏐R và g : ⏐R* → ⏐R 
 x → f (x) = hvx x → g(x) = cos x. 
15. Cho hai ánh xạ f, g : ⏐R → ⏐R xác định bởi: 
và g(x) = x + 1. 
a) ảnh của ánh xạ h : ⏐R → ⏐R phải thoả mãn điều kiện nào để có foh = 
goh? 
b) Tìm ba hàm số h : ⏐R → ⏐R mà ảnh h (⏐R) là một tập hợp vô hạn (tức 
là tập hợp có vô số phần tử) sao cho foh = goh. 
16. Cho hai hàm số f, g : ⏐R →⏐R xác định bởi: 
 f(x) =
 và g(x) = −2x2 + 33. 
Tìm tập con X của ⏐R sao cho: 
 f/X = g/X. 
17. Cùng câu hỏi của bài tập 16 đối với hai hàm số f, g : ⏐R →⏐R xác định 
bởi: 
 f(x) = , g(x) = 3 − x2. 
18. Giả sử A là một tập con của tập hợp X. ánh xạ 
 jA : A → X xác định bởi 
 x → jA (x) = x 
gọi là phép nhúng tập con A vào tập hợp X. 
Chứng minh rằng với mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi A ⊂ X, ta đều có: 
 f/A = fo jA. 
19. Tìm tập xác định và tập các giá trị của hàm số 
 f(x) = 
20. Chứng minh rằng nếu Y là một tập hợp có m phần tử thì tồn tại mn dãy 
n phần tử của Y. 
Hướng dẫn. áp dụng bài tập 9. 
21. Giả sử X và Y là hai tập hợp bất kì. Ký hiệu YX chỉ tập hợp tất cả các 
ánh xạ f : X → Y. 
Giả sử X, Y, Z là ba tập hợp và f : X → Y là một ánh xạ cho trước. 
ánh xạ 
df : ZY → ZX 
xác định bởi 
 ϕ → df(ϕ) = ϕ0f 
gọi là ánh xạ cảm ứng b?i ánh xạ f. 
Cho bốn tập hợp X, Y, Z, W và ϕ0f ∈ ZX 
hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. 
Gọi df : WY → WX, dg : WZ → WY và dgof : WZ → WX, theo thứ tự, là 
ánh xạ cảm ứng bởi f, g và gof. Chứng minh rằng 
 dgof = df . dg. 
22. Kí hiệu ⏐R⏐R chỉ tập hợp tất cả các ánh xạ từ tập R vào chính nó (xem 
bài tập 21). Gọi ≤ là quan hệ hai ngôi trên RR xác định như sau: 
Với mọi f, g ∈⏐R⏐R, 
f ≤ g khi và chỉ khi f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈⏐R. 
a) Chứng minh rằng ≤ là một quan hệ thứ tự trên ⏐R⏐R. 
b) Chứng minh rằng trong tập hợp sắp thứ tự ⏐R⏐R không có phần tử tối 
đại và phần tử tối tiểu. 
23. Giả sử R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X. 
ánh xạ: π : X → X/R 
 x → (x) = 
trong đó là lớp tương đương chứa phần tử x ∈ X gọi là, ánh xạ thương. 
Giả sử RX và RY, theo thứ tự, là hai quan hệ tương đương trên hai tập hợp 
X, Y và f : X → Y là một ánh xạ sao cho với mọi x1, x2 ∈ X, 
 x1 RXx2 ⇒ f(x1) RY f(x2). 
Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ F : X / RX → Y/RY sao cho lược đồ sau 
giao hoán. 
 Ngoài ra, nếu f(X) = Y thì F (X/RX) = Y/RY. 
(πX và πY là hai ánh xạ thương). 
Formatted: Heading01, Line
spacing: single